Fracciones Continuas

Una fracción continua es una expresión matemática para representar números, reales en principio, donde el número se representa como una suma de su parte entera y el inverso de otra fracción, creando una estructura en cascada ¿Qué son y cómo funcionan?

Las fracciones continuas sirven para aproximar cualquier número real de manera altamente eficiente. Tienen dos propiedades fundamentales:

Finitas: Todo número racional (fracción común) tiene una fracción continua finita.

Infinitas: Todo número irracional genera una fracción continua infinita.

Periódicas. Además, las soluciones de ecuaciones cuadráticas (números de la forma a x² + b x + c = 0) son siempre periódicas.

Representación simplificada

Para no escribir líneas de división interminables, se utiliza la notación compacta [a0; a1, a2, a3, ...].

Un ejemplo famoso es el número irracional Proporción Áurea

, cuya fracción continua se representa de la forma más simple posible utilizando únicamente el número 1:

= [1; 1, 1, 1, 1, ...]

Para calcular la fracción continua de un número r, se siguen los siguientes pasos:

1. Se extrae la parte entera a₀ del número y se resta (r - a₀).
2. Se toma el recíproco de la diferencia resultante, obteniendo un nuevo número.
3. Se repite el proceso extrayendo la parte entera de este nuevo número, invirtiendo la diferencia, 
4. y así sucesivamente.

Otro ejemplo: 

Es una representación infinita y periódica.Se puede abreviar como .El número 1 es la parte entera.El número 2 se repite indefinidamente

Grafos de divisibilidad

Un grafo de divisibilidad (también conocido como autómata de divisibilidad o mapa circular de restos) es una ingeniosa herramienta matemática visual que permite determinar si un número es divisible por otro —y calcular el resto de la división— de manera puramente geométrica, sin necesidad de realizar operaciones matemáticas tradicionales.

Son especialmente populares para números como el 7, el 11 o el 13, cuyos criterios de divisibilidad aritméticos suelen ser difíciles de memorizar.

¿Cómo está estructurado el grafo?

Si queremos evaluar la divisibilidad entre un número divisor n, el grafo constará de:

• Nodos (Vértices): Numerados del 0 al n-1, que representan los posibles restos que deja cualquier número al dividirse entre n.
• Flechas de avance (primer color, ej. blanco o negro): Representan la suma de unidades. Al seguir estas flechas avanzamos al siguiente nodo consecutivo en orden cíclico (\(+1 \pmod n\)).
• Flechas de transición (segundo color, ej. rosa o rojo): Representan el cambio de posición decimal (multiplicar por 10). Conectan cada nodo r con el resultado de \((r \times 10) \pmod n\).

Derivada de x al cuadrado

Derivada

La pendiente de la tangente.

Fibonacci

Multiplicar en Japón

Cómo y por qué:

Luego reulta que lo sabe todo el mundo

Sistema caóticos

Exquisito post La teoría del caos, en El Tamiz.

Algunas delicatessen:

• Son sistemas determinísticos. Dadas unas condiciones iniciales determinadas siempre se obtiene el mismo resultado.
• Son sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales, de modo que un cambio ligero en esas condiciones supone un cambio enorme..
• Son sistemas que, modificando ligeramente las condiciones iniciales, alcanzan prácticamente cualquier estado válido dentro del sistema.
• En muchos de ellos el estado del sistema parecía acercarse a algunos estados “privilegiados” y permanecer cercano a esos estados de ahí en adelante. Era como si algunos valores de las variables del sistema fueran muy “atractivos” y el sistema acabase acercándose a ellos tarde o temprano — algo predecible dentro de lo impredecible. Son los atractores.
• Si un sistema está cerca de un atractor y modificamos las variables ligeramente, no suele alejarse de él o, si lo hace, vuelve cerca posteriormente.
• Algunos atractores son fractales, y la presencia de atractores fractales es una de las cosas más interesantes de muchos sistemas caóticos.

Y un vídeo espectacular:

Los científicos se acercan a la partícula de Higgs

Y los periodistas se alejan de la profesionalidad.




la noticia en El País

Y eso que yo no puedo alardear.

¡Los numeros irracionales no son numerables!

Estaba estudiando topología de 4º, creo que la asignatura más chunga de la carrera, la daba Enrique Outeruelo Domínguez, que había escrito una enciclopedia, cuyo resumen eran sus clases. Pero en el examen podía entrar cualquier cosa de su enciclopedia. No había que comprársela, ya que no éramos muchos alumnos y en la biblioteca de investigación de la Facultad había cuatro o cinco versiones.

La asignatura era una locura, cosas como: espacios vectoriales de dimensión irracional, espacios de medida nula, con tantos elementos como [0, 1], cerrado y compacto (conjunto de Cantor), estaban a la orden del día.

En esas estaba, cuando empecé a recordar al iluminado que en segundo curso deambulaba por los jardines de la Facultad chillando:
"Mentirosos, cobardes, anquilosados", él había demostrado que ¡los números irracionales eran numerables!, pero nadie le hacía caso. Empecé a recordarlo, porque sin querer había llegado a la misma conclusión: ¡los números irracionales eran numerables!

Esto tiraba por tierra el 90% de las matemáticas que sabía yo y el resto de la gente (dentro de la Facultad de CC Matemáticas, claro), me puse nervioso, llamé a Elena, me tranquilizó y me dijo que lo volviese a repasar.
Ella no entendía la conclusión, pero se imaginaba que era grave, por mis titubeos al hablar. Yo, más que nervioso por el hallazgo, estaba nervioso, pensando en que me estaba convirtiendo en ese iluminado, del que todos nos habíamos reído en los primeros años de carrera.

Al final, no sé si para bien, o para mal, el error era mío y no del resto de colegas.

Jesús Begoña (II)

Creo que fue en 1988 cuando unos pocos nos apuntamos a la asignatura de E.A.T.P. (¿Asignatura Técnico Profesional?) de Problemas Matemáticos. Si no recuerdo mal fuimos:
Gonzalo, Jorge, José Luis, Eva y yo.
No salió como asignatura, fue una desilusión y me tuve que apuntar a Dibujo Técnico. Aun así Jesús Begoña nos propuso lo siguiente:
Una tarde a la semana la dedicaríamos a "problemas matemáticos", ¿cómo? si por la tarde no hbía clase, ¿habría examanes? ¿nos subiría la nota?
NO, a todo que no. La propuesta era divertirnos con las matemáticas, con problemas muy complicados para unos chavales de 3º de BUP, sin notas, sin examenes, la presión nos la poníamos nosotros.
No se si se lo propuso a más gente, pero nosotros aceptamos el reto. Quedar como bichos raros, yendo al Instituto los viernes por la tarde, a resolver problemas de matemáticas por diversión.
A mitad de curso hubo tensón. Jesús Begoña seleccionó a dos de aquellos chicos para las Olimpiadas matemáticas de la CCAA de Madrid, yo me sentía con fuerzas, pero también pensaba que cualquiera de nosotros lo podría hacer bien.
Al final José Luis quedó el primero y yo creo que entre los 10 primeros.
Seguro que nuestro Profesor se sintió orgulloso.

La sucesión de eredondonacci

Como se puede suponer es algo que me he inventado y que tiene relación con la sucesión Fibonacci.
Esta es famosa por su límite, el número áureo, por la espiral que forma, por su relación con el caos, etc. Es una sucesión que aparece en la naturaleza en múltiples ocasiones.
Se basa en ir sumado el elemento anterior de la serie al actual para conseguir el siguiente, es decir:
f(n+2) = f(n) + f(n+1)
Pero para esto hay que definir los dos primeros, que en la de Ficbonacci son 0 y 1.

En la de eredondonacci los dos primeros son 1 y 7

1, 7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, 259, 419, 678, 1097, 1775, ...

lo curioso es que el límite de la razón es el mismo, el númeo áureo 1,618033988749895

Jardín fractal

Me lo pidió Mario y ahí está:
Esos raros jardines: Jardín fractal

Punto de Inflexión

Según la Wikipedia, Punto de inflexión es: es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

Por tanto en economía, esa "Ciencia", no es un mínimo, no es donde deja de bajar y empieza a subir. Es un punto en el que deja de bajar fuerte, para empezar a bajar más despacio, y con el tiempo empezará a subir:



Por tanto NO hemos tocado fondo.

Topología por recordar

Me da pena que se me olviden todos los conceptos, a veces complicados, que estudié y aprendí en la carrera. Ciencias Matemáticas en la Complutense de Madrid.

Conceptos y definiciones topológicas:

Espacio Topológico

Un espacio topológico es un conjunto E de elementos junto con T, una colección de subconjuntos de E que satisfacen las siguientes propiedades:

• El conjunto vacío y E están en T.


• La intersección de cualquier colección finita de conjuntos de T está también en T.


• La unión de toda colección de conjuntos de T está también en T.

Espacio compacto

Un espacio es compacto si todo recubrimiento abierto contiene un subrecubrimiento finito. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompactos. Los espacios compactos Hausdorff son por tanto normales.

1er Axioma de separación

Un espacio topológico X se llama T0 si y solo si para cualquier par de puntos x, y \in X existe un abierto que contiene a uno de los puntos y no contiene al otro punto.

2º axioma de separación

Un espacio topológico X se dice T1 si y solo si para cualquier par de puntos x, y de X hay un par de conjuntos abiertos A1, A2, tal que x esté A1, pero no en A2, y además y esté A2, pero no en A1. Una equivalencia importante es que X es T1 si y solo si los subconjuntos de X formados por un único punto son cerrados

Adherencia

o clausura. La adherencia de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Es el cerrado más pequeño que contiene al conjunto original.

Base

Un conjunto de conjuntos abiertos es una base para una topología si cada conjunto abierto en la topología es unión de conjuntos de la base.

Conexo

Un espacio X es conexo si no es la unión disjunta de un par de conjuntos no vacíos y abiertos. De forma equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos "clopen" son el conjunto vacío y todo el espacio X.

Todo visto en la Wikipedia. Estudiado con el profesor Enrique Outeruelo

El espacio vectorial de los lenguajes.

Definamos el espacio vectorial definido por los siguientes ejes: cada eje es la variaciones (importa el orden) con repetición (se pueden repetir) de tres elementos de cada una de las letras del alfabeto latino.

Es decir habrá un eje para aaa, para aab, aac, ... aba, ..., aca, ..., ... , pap, ..., per, ..., zij, zoc, ..., zzy, zzz.

Será un espacio vectorial de 28 elevado a 3 dimensiones, un espacio vectorial de 21.952 dimensiones.

Cada palabra, frase, párrafo, incluso libro tendrá un punto en este espacio vectorial.

Los párrafos de mas de un número (grande, por ejemplo 1000) de palabras de un mismo lenguaje, tendrán una dirección (los otros también pero no los tendremos en cuenta). Mi hipótesis es que estas direcciones estarán "cerca" en dicho espacio vectorial, es decir cada lenguaje estarán en una zona mas o menos acotada de dicho espacio.

Además los lenguajes "semejantes" estarán en zonas cercanas, los textos del mismo tipo estarán en zonas mas cercanas aun: Los textos jurídicos en castellano estarán mas cerca entre sí que los textos científicos.

Hacer un programa que dado un texto devuelva el punto de ese texto no es complicado. Este programa intentará demostrar estas hipótesis.

Si se cumplen se podrán hacer estudios sobre cercanía entre idiomas.

Se pueden pensar en los espacios con las variaciones tomadas de cuatro en cuatro, de cinco en cinco ...

Maurits Cornelis Escher

No se si conoceís el trabajo de este señor, a mi me parece alucinante

Hand with Reflecting Sphere 1935

Drawing Hands 1948

Moebius Strip II 1963

Up and Down 1947

Waterfall 1961

• web oficial


• wikipedia


• reportaje

Jesús Begoña (I)

Empezaba 2º de BUP cuando ya había decidido no ser militar, durante el primer curso de Bachillerato había descubierto un nuevo mundo fuera de la catequesis, fuera del colegio, fuera de mi familia. Me hicieron ver que las armas no eran buenas, que se podía luchar de otra manera. Fue el curso de las huelgas, del cojo manteca.

No iba a ser militar, pero ¿qué iba a ser?, ya lo pensaría mas tarde, lo que descubrí, gracias al Profesor Jesús Begoña, es que quería estudiar matemáticas, lo descubrimos unos cuantos (Isaac, Jose Luis, yo), alguno se echó atrás (Eva), otros se fueron a físicas (Jorge, Gonzalo).

Recuerdo la semana en la que generamos, con "El Lennon", así le llamabamos, la definición de límite de una sucesión. Durante la semana nos dejó hacer a nosotros las definiciones, las corregíamos entre todos, volvíamos a definir, volvíamos a corregir, hasta los desauciados participaban, que semana, deseando que llegase la clase, disfrutando de ella.

"El limite de una sucesión A es L, si y solo si, para cada número real positivo épsilon, existe un natural K, tal que A sub n menos L es menor que épsilon para todo n mayor que k"

Relatividad

Una consecuencia en las leyes del electromagnetismo (tales como las ecuaciones de Maxwell) es que la velocidad c de radiación electromagnética no depende de la velocidad del objeto que emite la radiación.(wikipedia)

"Al adoptar la velocidad de la luz como constante en los sistemas de referencia, Einstein fue capaz de resolver una cuestión enojosa: ¿que significa afirmar que dos sucesos ocurren al mismo tiempo? Esta cuestión de la simultaniedad se vuelve problemática cuando los sucesos tienen lugar separados por una gran distancia.

Para Einstein el tiempo no es absoluto, sino que depende del marco de referencia en el cual se mide. La luz es la calve de la simultaneidad. Para ilustrar las ideas de Einstein, imaginemos un tren desplazándose a gran velocidad. En cada extremo del tren hay una puerta que se puede abrir enviando una señal luminosa desde el centro del tren, exactamente a medio camino entre ambas puertas. Se trata de un ejemplo de un "experimento mental", es decir, un experimento hipotético en el cual se supone que las medidas son perfectamente precisas, que las puertas se abren de manera instantánea, etc. Supongamos que somos n pasajero del tren, sentado en el medio junto a la fuente de luz, y que por tanto el tren es nuestro marco de referencia. ¿Qué veremos al generarse la señal luminosa? Vemos que las dos puertas se abren a la vez. Se abren a la vez porque la luz tarda exactamente la mismo tiempo en llegar a ambas.

Supongamos ahora que no estamos en el tren, sino que permanecemos a 50 metros de la vía, observando cómo pasa el tren. Se produce la señal luminosa. ¿Qué vemos a continuación? Primero se abre la puerta de cola del tren, y luego la de la parte frontal del mismo. He aquí porque. Debido a que el tren está en movimiento, en relación con nuestro marco de referencia, la puerta trasera se mueve una pequeña distancia hacia delante -hacia la luz- entre el instante que se generó la señal luminosa y su llegada a la puerta trasera, y la puerta delantera se desplaza a una pequeña distancia alejándose de la luz, entre el tiempo transcurrido entre la generación de la señal y el momento en que alcanza la puerta delantera. Así pues, vista desde nuestro marco de referencia externo al tren, la luz ha de viajar más para alcanzar la puerta delantera que la trasera. Pero la velocidad de la luz es constante en todos los sistemas de referencia y en todas las direcciones, nos dice Einstein. Por lo tanto, el haz luminoso alcanza la puerta trasera antes (desde nuestro punto de vista), y dicha puerta se abrirá antes (desde nuestro punto de vista).
...
De acuerdo con Einstein, por lo tanto, el tiempo no es absoluto, sino que depende del punto de vista del observador."
El Lenguaje de las Matemáticas de Keith Delvin

El día que lo demostraron en clase, realmente lo chungo son las ecuaciones de Maxwell, hubo varios que salieron de clase,antes de que acabara el profesor de explicarlo, nerviosos y un poco asustados, el viaje en el tiempo era posible. El resto nos quedamos mudos hasta que empezó la siguiente.

Pi y Juanelo Turriano

π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:




Este número nos puede llevar a infinidad de lugar y de hechos. A mi me llevó a Juanelo Turriano, a través del libro "El ingeniero y el Rey". El rey es Carlos I y el ingeniero este Turriano.

El libro es una novela policiaca de la época de Carlos I, en Yuste pocos días antes de la muerte del Emperardor, y hasta ahí podemos leer. El número Pi aparece cuando el Ingeniero está buscando el reloj perfecto, que de la hora perfecta, y que no necesite energía externa para hacerlo. Un amigo suyo matemático cree haber desubierto a Dios en el númeo Pi y es que a partir del decimal 755 aperecen seguidos seis nueves 999999.

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 4201 9 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99 ...

Tiene unas teorías un tanto absurdas en nuestra época, pero que cuelan en la época de Turriano y en la novela.

Este tal Turriano existió realmente y participó (diseñó sobre todo) en un montón de obras de ingeniería:

• Cristalino, reloj astronómico que le hizo ser conocido en su época, en el cual fue capaz de indicar la posición de los astros en cada minuto con objeto de interpretaciones astrológicas.


• diseño de las campanas del Monasterio de El Escorial.


• un autómata de madera, llamado el Hombre de palo: una calle de Toledo lo recuerda por este hecho


• máquina hidráulica que construyó para subir el agua a Toledo desde el río Tajo, conocida como el Ingenio de Toledo o Artificio de Juanelo.


• ametralladora rudimentaria


• participó en la reforma del calendario

En fin una máquina poco conocido en España, ni siquiera en Toledo es conocido en general.

Números primos

El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. :

Se demuestra su teorema utilizando reducción al absurdo:

Supongamos que hay un número finito de números primos. Si consideramos el producto de todos ellos y le sumamos uno, al dividir este nuevo número por cada uno de los primos obtenemos de resto uno. Por tanto debe de ser también primo o divisible por un primo que no aparecía en la lista inicial. Llegamos a una contradicción, y por tanto el número de primos ha de ser infinito.


¿por que son útiles los números primos?

Ahora mismo se me ocurre una muy interesante: La criptografía.

La criptografía asimétrica es el método criptográfico que usa un par de claves para el envío de mensajes. Las dos claves pertenecen a la misma persona a la que se ha enviado el mensaje. Una clave es pública y se puede entregar a cualquier persona, la otra clave es privada y el propietario debe guardarla de modo que nadie tenga acceso a ella. El remitente usa la clave pública del destinatario para cifrar el mensaje, y una vez cifrado, sólo la clave privada del destinatario podrá descifrar este mensaje.

Una función de un solo sentido es aquella cuya computación es fácil, mientras que su inversión resulta extremadamente difícil. Por ejemplo, es fácil multiplicar dos números primos juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil factorizar uno compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, si tenemos un número compuesto por dos factores primos y conocemos uno de los factores, es fácil computar el segundo.

Cuando decimos que no es fácil factorizar es porque los números primos que se utilizan son de muchas cifras unas 200 cifras.

Me gustó, al respecto, una película que se llamaba Sneakers. Se basaba en que un matemático ruso - claro - había descubierto una manera de que la función, esta de factorizar el producto de dos primos, la resolvía muy rápido, es decir dejaba de ser función trampa y podía decodificar los mensajes a la misma velocidad que se codificaban, con lo que podía obtener los mensajes, descifrarlos, modificarlos, cifrarlos y volverlos a lanzar. Cogía los mensajes a los bancos y en vez de que la transacción fuese a Pepito iba a Juanito y la liaba parda.